Содержание статьи
ИГР ТЕОРИЯ
Чтобы представить в виде дерева игру в шашки, каждая вершина должна означать одно из возможных расположений всех шашек на доске, а число ребер, исходящих из вершины, должно соответствовать количеству возможных ходов для игрока, играющего соответственно белыми или черными. В данном конкретном примере видно (и можно доказать, что так же обстоит дело и в общем случае), что в любой игре с полной информацией каждый из игроков может определить свою «наилучшую» стратегию. В модели игры, изображенной на рис. 1, черные могут заставить белых уплатить по крайней мере 5 единиц; кроме того, если белые будут придерживаться правильной стратегии, то черные не смогут выиграть больше 5 единиц несмотря на выбранную ими стратегию. Заметим, однако, что если бы игра состояла только из правой половины дерева, то наилучшая стратегия гарантировала бы белым проигрыш в 2 единицы; при менее удачной стратегии белые могли бы проиграть 10.
Теоретически шахматы и шашки имеют такую же структуру, как и приведенный выше более тривиальный пример. Однако представить эти игры в виде деревьев настолько сложно, что их полный анализ никогда не производился. Имеются некоторые основания полагать, что если оба игрока придерживаются оптимальных стратегий, то игра в шашки должна заканчиваться вничью, а в шахматы всегда должны выигрывать белые, делающие по правилам первый ход.
ИГРЫ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Первый шаг при построении общей математической теории игр состоит в доказательстве того, что любую конечную игру можно свести к эквивалентной ей игре, имеющей более простую частную форму; в отличие от игры с полной информацией такие игры сопряжены с минимальным обменом информацией. Предположим, что
n игроков
X1,
X2, ...,
Xn играют в игру Г по следующим правилам. Каждый игрок
Xk выбрал из множества
Sk элемент
xk, ничего не зная о том, какой элемент выбрал любой из остальных игроков; в качестве платежа игрок
Xk получает величину
Mk (
x1,
x2,...,
xn). Точный характер игры Г определяется множествами
S1,
S2,...,
Sn и
n функциями платежей
M1,
M2,...,
Mn. Элементы множества
Sk называются
чистыми стратегиями игрока
Xk.
Любая игра, которая может быть представлена таким образом, называется игрой с «нулевой суммой», если функции платежей удовлетворяют условию
при всех возможных выборах стратегий x1, x2,..., xn. Смысл этого названия заключается в том, что игра не разрушает и не создает состояния, а лишь перераспределяет его между игроками. Любую игру в нормальной форме можно превратить в игру с нулевой суммой, если ввести фиктивного игрока («банк»), который не делает ходов, но получает платеж в размере, необходимом для поддержания общего баланса. В игре двух игроков с нулевой суммой условие (1) принимает вид:
Следовательно, игрок X1 выигрывает, только если игрок X2 проигрывает, и интересы игроков диаметрально противоположны. Но если число игроков больше двух, то существует возможность объединения нескольких игроков в коалицию для достижения совместными усилиями того, что они не могли достичь порознь.
Чтобы уяснить, как обычную игру можно теоретически свести к нормальной форме, нужно глубже вникнуть в то, что понимается под «стратегией» в теории игр. В самых общих чертах стратегия игрока представляет собой детальный план действий, который может быть составлен заранее, до того, как игра действительно будет сыграна, и содержит полные инструкции, необходимые для принятия любого возможного решения; решение должно учитывать всю информацию, которой располагает игрок относительно предыдущих ходов, сделанных во время игры.
В шашках или шахматах описание индивидуальной стратегии белых составило бы объемистую книгу; в ней не только указывался бы первый ход, но и перечислялись бы контрходы в ответ на любой ответный ход черных, перечислялись бы все возможные вторые ходы, ответные ходы белых на любой второй ход черных и т.д.
